Cinemática intrínseca: describir el movimiento sobre la trayectoria
- Julián de Gregorio
- 3 may
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La cinemática puede abordarse desde dos perspectivas complementarias. La más habitual parte del espacio como un plano vectorial: cada punto se describe mediante un vector de posición que fija sus coordenadas, y el movimiento se expresa como la evolución de ese vector en el tiempo.
Sin embargo, existe otro enfoque en el que no se describe el movimiento desde el espacio, sino desde la propia trayectoria. En este caso, el conjunto de puntos no se define por sus coordenadas en el plano, sino por su pertenencia a la curva que describe el movimiento.
Este es el enfoque intrínseco o natural: todas las magnitudes cinemáticas —tiempo, velocidad, aceleración— se formulan sobre la trayectoria, utilizando únicamente elementos propios de ella. La trayectoria deja de ser un resultado para convertirse en el marco en el que se define todo el movimiento.
En este artículo se desarrolla esta segunda perspectiva, mostrando cómo es posible describir el comportamiento completo del sistema considerando exclusivamente lo que ocurre a lo largo de la trayectoria, sin necesidad de recurrir explícitamente a las coordenadas del espacio.
CINEMÁTICA
La Cinemática es la parte de la Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos, prescindiendo de su inercia (masa y momento de inercia) y de las causas que los producen (fuerzas y momentos).
En primer lugar diremos que mover un cuerpo es hacer que éste al transcurrir un tiempo se sitúe en un lugar distinto del que ocupa en un cierto instante inicial, y diremos que está en reposo cuando permanezca quieto en el mismo lugar en cualquier instante. Al analizar las definiciones anteriores, de movimiento y reposo de un cuerpo, nos surgen dos aspectos previos necesarios e imprescindibles al estudio del movimiento:
¿Cómo se define un lugar?
¿Qué es el tiempo?
Sistemas de referencia
Para definir un lugar hemos de conocer su ubicación y, por tanto, la referencia para establecer lugares comunes y distintos. Con el fin de distinguir lugares comunes y distintos es necesario implicar la existencia de al menos dos objetos, uno que manejaremos como referencial y otro sobre el que se puede definir el movimiento o el reposo.
Del razonamiento anterior concluimos, que previamente al estudio del movimiento, es necesario establecer un sistema de referencia. Dicho sistema de referencia puede ser un sistema de coordenadas (plano o espacial), o una línea (recta o curva) sobre la que se mueve el cuerpo.
Los sistemas de referencia pueden ser absolutos (considerados como fijos) y relativos (considerados móviles), siendo los movimientos absolutos o relativos según su referencial sea absoluto o relativo respectivamente.
TIEMPO
La Mecánica clásica o newtoniana considera que el tiempo es absoluto, es decir que es el mismo para cualquier referencial e independiente del propio movimiento del cuerpo. Se define mediante la duración de procesos periódicos, como la rotación de la Tierra alrededor del Sol (año terrestre) o de la Tierra alrededor de su propio eje (día terrestre), de un péndulo,…
ELEMENTOS INDISPENSABLES EN EL ESTUDIO DEL MOVIMIENTO
Los elementos indispensables para establecer el movimiento de un cuerpo son:
Características del propio cuerpo
El sistema de referencia
Ley del movimiento
Características del propio cuerpo:
Cuando definíamos la Cinemática como la parte de la Mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos no mencionábamos las características físicas de los cuerpos, tales como su tamaño, deformabilidad, estado,… Al iniciar el estudio de la Cinemática en los primeros cursos empezamos por cuerpos que denominamos puntos materiales o partículas materiales, posteriormente, en otros cursos, se hablará de movimientos de sólidos rígidos, sólidos deformables (elásticos, inelásticos, plásticos), líquidos, gases. La razón de empezar con modelos tan simples se puede de explicar de forma lógica, al ser más fácil seguir el movimiento de un punto que el movimiento de muchos puntos materiales que forman el cuerpo.
El punto material, como cuerpo dotado de masa y cuyas dimensiones pueden ser despreciadas durante el movimiento, se puede considerar como una entidad física cuando pueda manejarse para interpretar fenómenos físicos y, pueda considerarse un modelo físico. El punto material, o partícula material, se puede considerar un modelo físico[1], y representar a un cuerpo sólido cuando cumpla uno de los dos rasgos característicos siguientes:
Las distancias recorridas por el cuerpo sean muy grandes respecto a sus propias dimensiones.
Cuando los cuerpos se encuentran en movimiento de traslación (rectilínea o curvilínea).
[1] Consideramos modelo a una organización de ideas que permite comprender el comportamiento o naturaleza de determinados fenómenos. Así un cuerpo cualquiera se considera un punto material cuando se le agregan los dos rasgos hipotéticos mencionadas, con el fin de explicar movimientos y efectos dinámicos de traslación.
El sistema de referencia:
El sistema de referencia, referencial, que permite definir cuando un punto material se encuentra en reposo o movimiento respecto de dicho sistema y, que permiten definir los movimientos del mismo, son (Targ 1976):
Sistemas naturales o intrínsecos
Sistemas de coordenadas.
Sistemas vectoriales
Los sistemas naturales o intrínsecos son aquellos que toman como referencia la propia trayectoria, definiéndose todas las magnitudes cinemáticas en función de dicha trayectoria. Los sistemas de coordenadas y vectoriales, también denominados extrínsecos, definen todas las magnitudes cinemáticas en forma de coordenadas o en forma vectorial en función de los ejes establecidos como referenciales (este año manejaremos ejes cartesianos, que están formados por ejes perpendiculares entre sí).
Ley del movimiento:
La ley del movimiento es la expresión matemática que nos indica la ubicación o posición del punto material, que representa el cuerpo material, en cualquier instante.
MAGNITUDES CINEMÁTICAS
Para estructurar la correspondiente teoría del movimiento de un cuerpo hacen falta dos tipos de magnitudes:
Magnitudes características cinemáticas: posición, desplazamiento, velocidad, aceleración y espacio recorrido
Magnitud especial: tiempo
Para cada una de las magnitudes características fundamentales estableceremos dos definiciones:
Definición funcional, que indica la función concreta que tiene cada una de las magnitudes en el movimiento del punto. Estas definiciones permiten conocer las cualidades y propiedades del movimiento y todas ellas relacionadas forman la base teórica del fenómeno del movimiento.
Definición operativa, es la expresión matemática usada formalmente y que nos permite operar y efectuar los cálculos que nos permiten analizar, comparar y distinguir todos los movimientos
MAGNITUDES CARACTERÍSTICAS CINEMÁTICAS: POSICIÓN, DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD, ACELERACIÓN Y ESPACIO RECORRIDO
POSICIÓN - Posición es la magnitud característica cinemática que permite ubicar o situar un móvil respecto de un referencial.
En el método vectorial la magnitud que define la posición, de cada punto en que se encuentra el móvil, se denomina vector de posición.
Vector de posición es el vector que tiene como origen el origen del sistema de referencia y como extremo el punto donde se encuentra situado el punto material
Matemáticamente el vector de posición en coordenadas cartesianas planas se puede expresar:
Donde el vector de posición r viene expresado en función de los vectores unitarios i, j, k según los ejes X, Y y Z respectivamente. En el plano cartesiano sólo se especifica el vector de posición en función de los vectores unitarios i, j según los ejes x e Y.
En el método de coordenadas cartesianas la posición de cada punto P queda especificada por las componentes del punto. Se suele especificar con un paréntesis encerrando las tres componentes (en el espacio), o las dos componentes (en el plano) separadas por comas.
Matemáticamente un punto P se indica en el espacio y en el plano respectivamente: P (x,y,z), P (x,y).
A la expresión vectorial que nos indica la posición del móvil en cualquier instante se la denomina ley vectorial del movimiento, cuando sólo se indican las componentes se denomina coordenadas del movimiento, y cuando se dan las dos o tres ecuaciones por separado (según sea el espacio o el plano) se denominan ecuaciones del movimiento. Matemáticamente son:
En el método natural o intrínseco (en el cual hay que definir todas las magnitudes cinemáticas sobre la trayectoria) seguiremos los siguientes pasos para definir la posición sobre la trayectoria:
La trayectoria del cuerpo (rectilínea o curvilínea)
Fijar un origen sobre la misma, con indicación de los sentidos positivo y negativo sobre ella.
Definir la posición sobre la trayectoria P como la longitud de la cuerda rectificada, desde el origen tomado hasta el punto, con su signo correspondiente positivo o negativo en función del convenio fijado previamente.
Matemáticamente podemos expresar la posición sobre la trayectoria:
La ley natural del movimiento o ecuación horaria es establecer la posición del punto en cada instante: s = s(t).
DESPLAZAMIENTO DE UN MÓVIL - Es la magnitud característica cinemática que indica el cambio posición de un móvil en una trayectoria. Es una magnitud invariante, ya que no modifica su valor aunque cambie el origen del referencial elegido.
En el método vectorial, el vector desplazamiento se representa por d = Dr. Es un vector que une dos puntos de una trayectoria, y tiene como origen el punto de partida y como extremo el punto de llegada.
El vector desplazamiento será el vector PQ, que se obtiene como la resta vectorial de los vectores OQ y OP. Es decir matemáticamente será:
En coordenadas cartesianas se expresa el vector desplazamiento, conocidos los vectores de posición inicial y final, r0 y r, en dichas componentes:
En el método de componentes, el desplazamiento tiene por componentes las proyecciones orientadas del vector desplazamiento según los ejes. Dichas componentes, dadas las posiciones iniciales y finales, de P y Q respectivamente, son:
En el método natural o intrínseco, no hablaremos de vector desplazamiento tampoco de cambio de coordenadas del móvil, diremos simplemente desplazamiento sobre la trayectoria. Desplazamiento que equivale a la longitud de línea desde el punto de partida al de llegada (pudiendo ser el valor positivo o negativo, dependiendo de la indicación de los sentidos de lectura de las posiciones final e inicial). Matemáticamente el desplazamiento sobre la trayectoria será:
La distancia recorrida por el móvil, entre dos puntos, es el módulo del desplazamiento (sea el movimiento rectilíneo o curvilíneo).
No se debe decir nunca que el desplazamiento, en cualquiera de los métodos reseñados, es el espacio recorrido. Puede coincidir su módulo con el espacio, siempre que el movimiento sea rectilíneo y el móvil no cambie su sentido de movimiento. El tratamiento cinemática sobre el cálculo del espacio recorrido lo haremos después de estudiar el concepto de velocidad instantánea y de la aceleración.
VELOCIDAD DE UN MÓVIL - Es la magnitud característica cinemática que permite conocer el reposo o el movimiento de un cuerpo, su rapidez (celeridad) y la dirección y sentido que éste lleva en su movimiento.
La función de la velocidad es determinar mediante una única magnitud el reposo o el movimiento de un cuerpo. Así, se asegura que un cuerpo está en reposo si la velocidad es nula y está en movimiento si ésta toma cualquier valor. Sin embargo eran necesarias dos magnitudes, posición y tiempo, para definir estos dos mismos conceptos.
El concepto de la velocidad, como mayor o menor rapidez para que un móvil puntual realice un desplazamiento, lleva a las dos expresiones matemáticas de las velocidades media e instantánea.
Velocidad media - Es la magnitud cinemática que indica la rapidez con la cual un móvil pasa entre dos puntos de una trayectoria.
En el método vectorial, el vector velocidad media se obtiene matemáticamente como la relación o cociente entre el vector desplazamiento y el tiempo que tarda el móvil en pasar entre los dos puntos de la trayectoria. Suponiendo que el móvil se encuentra en P en el instante t0 y en Q en el instante t, se expresa:
El vector velocidad media en cartesianas se obtiene sustituyendo en la expresión anterior las componentes cartesianas del desplazamiento, resultando:
La velocidad media tendrá la dirección y sentido del desplazamiento, al ser el tiempo una magnitud escalar. Las unidades de dicha magnitud en el Sistema Internacional (SI) es m/s
En el método de coordenadas cartesianas las componentes de la velocidad media son la proyecciones del vector velocidad media sobre los ejes, siendo su expresión: (vmx,vmy,vmz).
En el método natural o intrínseco, no debemos referirnos al vector velocidad media o a las componentes de la velocidad, diremos simplemente velocidad media sobre la trayectoria. Se define matemáticamente como la relación entre el desplazamiento sobre la trayectoria y el tiempo que tarda el móvil en realizar el mismo. Considerando que el móvil se encuentra en la posición P en el instante t0 y en la posición Q en el instante t, la velocidad media sobre la trayectoria es:
La velocidad media así definida no es un vector, ya que el desplazamiento sobre la trayectoria puede ser un arco de curva. Puede ser positiva o negativa, indicando el signo su sentido de movimiento.
El módulo del vector velocidad media puede coincidir con el módulo de la velocidad media sobre la trayectoria en dos situaciones:
Cuando:
En este caso los módulos del vector desplazamiento y del desplazamiento sobre la trayectoria se aproximan.
Cuando la trayectoria del móvil sea rectilínea.
Velocidad instantánea - Es la magnitud física que permite conocer la velocidad del móvil en cualquier instante. Dicho de otro modo es la magnitud física que indica la rapidez y sentido del móvil en un instante cualquier de la trayectoria.
La velocidad instantánea no es un concepto estrictamente físico, sino matemático. El alumno al comenzar su estudio, debe abordar dicho concepto desde la idea del límite de una sucesión de valores de la velocidad media cuando
En el método vectorial, el vector velocidad instantánea se define como el límite al que tiende el vector velocidad media cuando el incremento del tiempo tiende a cero, que denominamos derivada del vector de posición respecto del tiempo. Matemáticamente se puede expresar:
El vector velocidad instantánea en cartesianas se obtiene sustituyendo el valor del vector velocidad media en coordenadas cartesianas, cuya expresión será:
Es necesario que al abordar la velocidad instantánea como límite de la velocidad media vean que la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en cada uno de sus puntos.
La velocidad instantánea sobre la trayectoria se define como el límite al que tiende la velocidad media sobre la trayectoria, cuando el incremento del tiempo tiende a cero. Se expresa matemáticamente:
Las velocidades instantáneas, en las formas vectorial y natural, al ser tangentes a la trayectoria, son magnitudes intrínsecas en sí mismas. No es intrínseca, sin embargo, en forma vectorial cartesiana, por definirse en función de vectores unitarios, solidarios con los ejes cartesianos, y no con vectores unitarios sobre la propia trayectoria.
Relación entre la velocidad vectorial y natural
Como sabemos que la posición de un móvil es función de la trayectoria, es decir:
[2] La derivada aquí mencionada es la derivada de una función de función:
La velocidad instantánea será:
Donde v es el módulo de la velocidad y ut es el vector unitario tangencial, cuyo valor es:
Aceleración - Es la magnitud característica cinemática que permite clasificar los diferentes tipos o clases de movimientos, indica el cambio de sentido del móvil si éste se produce y las variaciones de la intensidad de la velocidad (reprise), de su dirección y sentido.
Al analizar las palabras anteriores, se matiza en primer lugar las funciones concretas de la velocidad y, en segundo lugar, se establece la necesidad de ésta magnitud para conocer las posibles variaciones del vector velocidad con el tiempo en que se experimenta dicha variación. Según dicha variación se determine entre dos instantes o en un sólo instante hablaremos de aceleración media o aceleración instantánea.
Aceleración media - Es la magnitud que permite conocer como varía la velocidad entre dos instantes dados.
La expresión general del vector aceleración media, cuando se conoce que en el instante inicial (t0) la velocidad que lleva el móvil es v0 y que en el instante final (t) la velocidad es v, es:
La expresión del vector aceleración media en coordenadas cartesianas se obtendrá sustituyendo los correspondientes valores de los vectores velocidad inicial y final en la expresión anterior:
La expresión de la aceleración mediante coordenadas cartesianas viene dada por las proyecciones del vector aceleración media según los ejes, y viene indicada: (amx,amy,amz).
La aceleración media en coordenadas intrínsecas o naturales se obtendrá sustituyendo las velocidades final e inicial en la expresión vectorial general del vector aceleración media, resultando:
La trayectoria es la línea que une todas las posiciones del móvil en su recorrido, o es la línea que une los extremos de los vectores de posición. Podemos construir una línea similar a la trayectoria que denominamos hodógrafa, que diseñamos al unir mediante una línea todos los extremos de dichas velocidades instantáneas, estando sus orígenes en un punto común. Las hodógrafas de un movimiento rectilíneo uniforme, de un movimiento rectilíneo uniformemente variado o de un movimiento circular uniforme son: un punto, una recta, o una circunferencia respectivamente.
De la misma forma que al unir los extremos de dos vectores de posición, desde el inicial al final, obtenemos el desplazamiento del móvil; al unir los extremos de dos velocidades instantáneas, desde la inicial a la final, obtenemos el cambio vectorial de velocidad. Muy interesante sería que los alumnos dibujaran una trayectoria curvilínea cualquiera y su hodógrafa, comprobando que el cambio de la velocidad que también es el sentido de la aceleración media, va siempre dirigido hacia el interior de la curva.
Aceleración instantánea - Es la magnitud característica cinemática que nos indica la aceleración en un instante cualquiera de la trayectoria.
La aceleración instantánea, igual que la velocidad instantánea, no es un concepto estrictamente físico, sino matemático. El alumno al comenzar su estudio, debe abordar dicho concepto desde la idea del límite de una sucesión de valores de la aceleración media cuando
El vector aceleración instantánea en forma general se define, matemáticamente, como el límite al que tiende la sucesión de valores de la aceleración media, cuando el incremento del tiempo tiende a cero. Se expresa:
En forma vectorial cartesiana el vector aceleración se obtiene sustituyendo los valores de la velocidad en la ecuación anterior, resultando:
En forma natural el vector aceleración se obtiene a partir de la definición general de aceleración instantánea los valores de la velocidad, final e inicial, expresadas en forma natural:
De la expresión anterior, haciendo los cálculos correspondientes acerca de:
El módulo de la variación del vector unitario (ver figura adjunta, donde se observan dos triángulos semejantes), desde la posición inicial y final, cuyo valor es:
Comprobando que la variación instantánea de dicho vector es el vector unitario normal:
Al llevar a la expresión de la aceleración en componentes intrínsecas los resultados anteriores, obtenemos la aceleración en componentes naturales o intrínsecas:
La aceleración aquí determinada se denomina intrínseca por expresarse en función de dos vectores unitarios, tangenciales y normales, solidarios con la propia trayectoria:
La componente tangencial indica como cambia el módulo de la velocidad sobre la trayectoria en cada punto.
La aceleración normal implica la existencia de curvatura. En los movimientos rectilíneos (R -> ∞) la aceleración normal es nula, la única componente existente es la tangencial.
La unidad de la aceleración en el S.I. es el m/s2.
Espacio recorrido - Es la magnitud física que indica la longitud total recorrida por el móvil desde que parte inicialmente hasta el final de su recorrido.
Aunque en muchos libros de texto se habla del espacio recorrido cuando se menciona el desplazamiento, es más apropiado mencionar este concepto cuando se han tratado las magnitudes velocidad y aceleración instantáneas.
Para poder determinar el espacio recorrido por el móvil entre dos instantes se ha de conocer previamente en que instantes la velocidad se anula, discutiéndose en los mismos si la aceleración cambia de sentido respecto de la velocidad. El espacio recorrido por el móvil será la suma de los módulos de los desplazamientos realizados.
También se ha de procurar que los alumnos manejen bien el concepto de espacio y no confundan dicha magnitud con la posición o el desplazamiento (en muchos casos, los alumnos manejan las letras e y s como sinónimos de espacio, cuando en realidad se utilizan en ecuaciones donde representan la posición).
RELACIÓN ENTRE LAS MAGNITUDES CINEMÁTICAS EXPRESADAS EN FORMA VECTORIAL CARTESIANA Y NATURAL
Dada la ley vectorial cartesiana del movimiento, o las coordenadas cartesianas del movimiento (x=x(t); y=y(t)) podemos obtener la ley natural (fijando nosotros el origen) teniendo en cuenta simplemente el Teorema de Pitágoras y sabiendo derivar e integrar.
Mediante el Teorema de Pitágoras podemos obtener el valor de “ds” y, a continuación, hallamos las diferenciales “dx” y “dy”:
Finalmente integrando la ecuación anterior obtenemos la longitud de la curva deseada:
La constante “c” determina cuando se elige el origen sobre la trayectoria recorrida por el móvil. Se recomienda en los primeros cursos de Bachillerato obtener trayectorias de movimientos rectilíneos de aceleración nula o constante.
Para determinar la velocidad en forma natural, conociendo el vector de posición en cualquier instante o el vector velocidad, en forma cartesiana. En primer lugar si nos dan el vector de posición derivando obtendremos la velocidad en cualquier instante y, después:
1º. Hallaremos el módulo de dicha velocidad
2º. Dividiremos el vector velocidad entre el modulo, antes determinado, y calcularemos el vector unitario tangencial.
Para determinar las componentes intrínsecas de la aceleración, conociendo las cartesianas, se pueden seguir varios métodos:
Derivando la ecuación anterior.
Mediante el producto escalar y el vectorial. Con el producto escalar del vector velocidad por la aceleración determinamos la aceleración tangencial. Mediante el producto vectorial de ambas magnitudes determinamos la aceleración normal.
VALORES MEDIOS DE LA VELOCIDAD Y DE LA ACELERACIÓN
Con el fin de determinar los valores medios de ambas magnitudes debemos pensar cuál es el valor medio de cualquiera de las magnitudes. Hemos de pensar que el valor de cualquiera de ellas será mayor dependiendo de dos factores:
Cuanto mayor sea cualquiera de ellas, velocidad o aceleración.
Del tiempo que estemos con ellas.
Resumiendo la media será una media ponderada, siendo la ponderación el tiempo en que se encuentre cualquiera de las magnitudes.
Si un móvil lleva las velocidades v1, v2, v3,..., en los tiempos respectivos t1, t2, t3,... respectivamente, la velocidad media que llevó en todo el tiempo t = t1 + t2 + t3+... será:
En el caso de que las velocidades vectoriales, es decir sus componentes, sean variables con el tiempo, es válida la expresión anterior siendo la suma la integral entre los instantes mencionados (tomamos los tiempos que tiendan a cero, es decir sean “dt”, para que se pueda considerar constante la velocidad en dicho tiempo), quedando la expresión anterior de la forma:
Se puede llegar a una expresión similar para la aceleración media, empleando las mismas consideraciones anteriores:
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CINEMÁTICOS DEL PUNTO
Dos son los problemas que suelen presentarse en la cinemática del punto:
Determinar posiciones, desplazamientos, velocidades (medias e instantáneas), aceleraciones (medias e instantáneas) y espacios recorridos por el móvil, conocida la ley del movimiento (en cualquiera de los métodos reseñados.
Determinar la velocidad y la ley del movimiento, dada la aceleración del móvil y las condiciones iniciales del mismo, o las condiciones en cualquier instante.
Para resolver cualquiera de los problemas anteriores, se han de manejar bien las definiciones de velocidad y aceleración. El primer problema, se resolverá mediante derivación y el segundo por integración.
ACTIVIDADES DE FAMILIARIZACIÓN CON LOS MÉTODOS DE DEFINIR EL MOVIMIENTO
La ecuación del movimiento de un punto es:
a) ¿Qué magnitud representa la x? ¿Cuál es la trayectoria?
b) Dibuja distintos valores de x sobre la trayectoria.
En la ecuación siguiente, ¿significa lo mismo la “s” que la “x” de la actividad anterior. Razona la respuesta?
Las ecuaciones del movimiento de un punto son:
a) Expresar la posición en cada instante en forma vectorial cartesiana y en forma de componentes.
b) ¿Cuál es la trayectoria del móvil?
Expresar, en forma natural, la ley del movimiento de la actividad anterior
Resolución de la actividad 4:
En primer lugar hallamos las diferenciales de las ecuaciones del movimiento y calculamos la ley natural del movimiento (ver sección)
A continuación
Representar la trayectoria en coordenadas cartesianas
Elegir un origen sobre la trayectoria (hemos tomado t=0, donde x=0, y= -1), es decir tomamos t=0, s0=0. Elegimos un convenio de signos positivo desde el origen tomado O=P0, P1, P2…
Poner la condición antes mencionada en la posición en cualquier instante, siendo por tanto la ecuación horaria:
La ley vectorial del movimiento de un punto es:
Representar dicha ley vectorial en forma de componentes y natural.
La ley vectorial del movimiento de un punto es:
Expresar dicha ley vectorial en forma de componentes y natural.
Determinar, en forma vectorial cartesiana y natural, el movimiento cuya posición en cualquier instante es: (x,y)= (t,t2) Comenta las dificultades que se te presentan al pasar del método vectorial al natural (no es necesario que acabes los cálculos)
Hallar la velocidad media de un móvil, entre los instantes inicial (t0) y final (t), de los movimientos de las actividades anteriormente descritas 3, 5, 6 y 7.
Determinar la rapidez instantánea, cuando t=3s, de un móvil cuya ley natural del movimiento es e=2t2. Para poder hacerlo, deberás calcular la velocidad media en los intervalos(3, 3´1); (3,3´01); (3,3´0005) y, a continuación, repetir los cálculos en los intervalos (2´9,3); (2´99, 3); (2´99998,3). Por último, ver hacia que valor tienden ambas series[1].
[1] Actividad diseñada por el Seminario de Física y Química de La Axarquia en 1989, para que los alumnos entiendan que los valores instantáneos de la velocidad son límites de sucesiones de los valores medios de las velocidades, cuando el intervalo del tiempo tiende a cero
Determinar en la actividad 7:
Velocidad media entre los instantes t0 y t. Puedes usar dos métodos:
- Sustituir t0 y t para determinar los vectores posición, inicial y final, en la
definición de velocidad media y operar el resultado obtenido.
- Sustituir t y t + Dt para determinar los vectores posición, inicial y final, en la
definición de velocidad media y operar el resultado obtenido.
Velocidad instantánea, a partir de los resultados obtenidos en la actividad anterior, según el límite al que tiende la velocidad media cuando el incremento del tiempo tiende a cero.
La velocidad instantánea derivando la ley vectorial del movimiento.
Determinar la velocidad instantánea, derivando el vector de posición respecto del tiempo, del movimiento de la actividad 3. A continuación:
Determinar las velocidades en los instantes t = 0, 1, 2, 3 s, representando la hodógrafa, ¿qué curva es?
Determinar la celeridad y el vector unitario tangencial.
Repetir los mismos apartados de la actividad anterior con las leyes vectoriales de los movimientos de las actividades 5, 6 y 7.
Determinar la aceleración, expresada de forma natural, del movimiento de la actividad 6.
Determinar la aceleración, expresada de forma natural, del movimiento de la actividad 7.
La velocidad de un punto, que recorre una recta, varía con el tiempo según se observa en el diagrama v – t adjunto. Suponiendo Que en el instante inicial el móvil partió del origen del sistema de referencia. Calcular:
a) Posición a los 4 segundos.
b) Desplazamiento desde t=0 s a t=4s.
c) El espacio recorrido por el móvil en los 4 s.
El movimiento d una partícula viene dado por la ecuación del movimiento:
Donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular:
En qué instante v = + 15 m/s.
¿Cuál es la posición del móvil en dichos instantes y qué espacio recorrió entre los mismos.
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