¿Por qué los objetos describen parábolas? La gravedad explicada con ecuaciones
- Julián de Gregorio
- 10 may
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En este artículo se estudia el movimiento de un cuerpo sometido a una aceleración constante, como ocurre cuando un objeto se mueve bajo la acción de la gravedad. A partir de este caso fundamental se analiza el conocido movimiento parabólico, característico de los proyectiles.
Mediante las ecuaciones del movimiento se muestra cómo la gravedad determina la forma de la trayectoria y cómo pueden obtenerse resultados importantes como la altura máxima alcanzada o el alcance horizontal máximo. El desarrollo se presenta de forma razonada, destacando las ideas físicas que permiten comprender por qué los cuerpos describen trayectorias parabólicas.
ECUACIONES DE UN MOVIMIENTO PARABÓLICO DEBIDA A LA ACELERACIÓN CONSTANTE DE LA GRAVEDAD
Para establecer dichas ecuaciones, haremos el siguiente diagrama de proceso:
Representación gráfica lógico simbólica que tiene los siguientes elementos:
Sistema de referencia cartesiano
Estado inicial (t = 0) que es el lugar de lanzamiento, definiendo en dicho estado todas las magnitudes correspondientes (posición inicial, velocidad inicial y aceleración de la gravedad).
Estado final (t) que es un lugar cualquiera después del lanzamiento, definiendo sus magnitudes correspondientes (posición final y aceleración de la gravedad.
Tabla de todas las magnitudes expresadas operativamente, es decir las magnitudes vectoriales con sus correspondientes expresiones vectoriales cartesianas, es decir en forma vectorial o de par.
A continuación, teniendo en cuenta las expresiones vectoriales de los movimientos de aceleración vectorial constante, sustituiremos los valores de las magnitudes operativizadas en la tabla anterior:
De la ecuación vectorial (1) se extraen dos ecuaciones, denominadas ecuaciones del movimiento, o ecuaciones paramétricas de la trayectoria:
La expresión (2) se puede expresar como ley vectorial del movimiento:
La trayectoria en forma cartesiana se obtiene al despejar t en la primera de las ecuaciones (1) y sustituir dicho valor en la segunda:
La función (4), que relaciona las variables x e y, responde a la ecuación de una parábola.
COMPONENTES DE LA VELOCIDAD EN CADA INSTANTE DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO DEBIDO A LA GRAVEDAD
Para determinar las componentes de la velocidad en cualquier instante partimos de la ecuación vectorial de la velocidad de los movimientos de aceleración vectorial constante.
Consideramos los mismos estados “inicial y final” del ejercicio anterior, definidos mediante las magnitudes de la tabla. Sustituimos en la ecuación vectorial sus correspondientes componentes, resultando:
De la expresión vectorial (5) se extraen las dos ecuaciones, componentes de la velocidad en cualquier instante:
De las expresiones de la velocidad podemos deducir:
El móvil está subiendo cuando las dos componentes de la velocidad son positivas.
El móvil está bajando cuando la componente de la velocidad según el eje X es positiva y la componente en el eje Y sea negativa
La altura máxima (ymax) será alcanzada por el móvil cuando vy = 0
A los mismos resultados de la velocidad obtenidos en (6) se puede llegar derivando la expresión (3) con respecto del tiempo.
ALTURA MÁXIMA Y ALCANCE MÁXIMO
A partir de las expresiones (2) y (6) se pueden deducir las expresiones de la altura máxima y del alcance máximo.
Altura máxima - Como dijimos anteriormente se alcanza la máxima altura (ymax) cuando la velocidad según el eje de las Y es cero (vy =0, deja de subir hacia arriba), mientras que la velocidad según el eje de las X es constante al no depender del tiempo, ver ecuaciones (6).
Al llevar a la segunda de las ecuaciones (6) la condición vy = 0, obtenemos el tiempo que tarda el móvil en llegar a dicha altura:
Finalmente al sustituir el valor del tiempo determinado en (7) en cada una de las ecuaciones (2) obtendremos la abcisa y la ordenada del punto pedido:
Alcance máximo - El alcance máximo (xmax) el móvil lo alcanzará cuando y=0. Por tanto para determinarlo haremos cero la segunda de las ecuaciones (2), con el fin de determinar el tiempo tardado en lograrlo. Una vez calculado el tiempo se sustituirá en la primera de las ecuaciones (2) quedando determinado.
Sería una tarea muy interesante dibujar el diagrama de proceso implicado en la obtención del alcance máximo, situando el estado inicial en el momento de lanzamiento y el final cuando el cuerpo alcance de nuevo el suelo.
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
Consideremos un movimiento uniformemente variado que lleva la dirección de la recta y = mx + n, siendo los módulos de la velocidad inicial y de la aceleración “v0 y a” respectivamente y la posición inicial en t0 = 0 P0 (x0, y0). Vamos a determinar las ecuaciones del movimiento y las componentes de la velocidad en cualquier instante.
Con el fin de determinar las dos expresiones requeridas dibujaremos el diagrama de proceso adjunto y, al ser un movimiento de aceleración vectorial constante sustituiremos en sus ecuaciones generales los valores operativizadas de la tabla adjunta:
De la ecuación vectorial (10) se extraen dos ecuaciones que denominamos ecuaciones del movimiento, después de sustituir en las correspondientes ecuaciones la correspondencia entre las componentes de la velocidad inicial y de la aceleración, que por estar alineadas
siendo previamente el valor de ambas componentes:
Y finalmente sustituiremos los valores obtenidos en (11) en cada una de las dos ecuaciones obtenidas a partir de la ecuación vectorial (10):
De la misma forma, partiendo de la ecuación vectorial de la velocidad final, obtendremos las correspondientes componentes de la velocidad en cualquier instante.
Aplicación numérica:
Determinar las ecuaciones del movimiento de un móvil que recorre una trayectoria recta de ecuación: y=2x+5, partiendo inicialmente del punto de abcisa x0=1 m con una velocidad inicial v0=10m/s, con una aceleración constante a=3 m/s2.
Con el fin de obtener dichas ecuaciones del movimiento, partimos de las expresiones (11), para determinar las componentes de la velocidad inicial y de la aceleración:
La componente “y0” de la posición inicial, cuando t=0, se determina sustituyendo el valor de x0=1 en la ecuación de la trayectoria: y=2·1+5=7m. Y a continuación sustituimos los valores obtenidos (14) en (12) resultando:
Dos casos particulares del movimiento descrito en las ecuaciones (12) son:
Movimientos rectilíneos uniformemente variados en la dirección del eje X (pendiente m=0; v0x=v0, v0y=0, ax=a, ay= 0). Siendo la ecuación de su movimiento:
x=x0+v0·t+½·a·t2. La velocidad en cualquier instante será: v=v0+a·t
Movimientos rectilíneos uniformemente variados (aceleración la gravedad) en la dirección del eje Y (m=¥ -> v0x=0, v0y=v0, ax=0, ay=-g). Siendo la ecuación de su movimiento: y=y0+v0·t – ½·g·t2. La velocidad en cualquier instante será: v=v0–g·t
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